Ensembles parfaits et séries trigonométriques

Les ensembles parfaits du type de Cantor, comme les fonctions continues
partout non dérivables à la Weierstrass, les courbes sans tangentes à la Von
Koch, sont devenues les paradigmes de la géométrie fractale de Benoit
Mandelbrot et acquièrent rapidement droit de cité en physique comme l'avait
prévu, bien à l'avance, Jean Perrin. Les dimensions fractionnaires en
particulier la dimension de Hausdorff et la dimension capacitaire, dont
l'égalité selon Frostman fait l'objet d'un chapitre de ce livre deviennent
familières aux mathématiciens et à beaucoup de non-mathématiciens. La première
édition de ce livre, publiée en 1963, a longtemps été la référence principale
à ce sujet. Aussitôt après 1963, d'excellents travaux ont été suscités par ce
livre, en particulier ceux de Nicolas Varopoulos, de Robert Kaufman, d'Yves
Meyer. Des notes et des contributions originales de Thomas Körner et de Russel
Lyons font le point de la situation en 1986. À cette époque, deux grands
outils étaient apparus comme essentiels dans l'analyse de Fourier, en
particulier dans la théorie des ensembles d'unicité et de multiplicité : les
méthodes probabilistes et le point de vue de Baire. Aujourd'hui, le sujet des
ensembles d'unicité est renouvelé par la considération des ensembles
analytiques. Il est intéressant de voir comment ce vieux problème, posé dans
la thèse de Cantor sur l'unicité du développement trigonométrique, a pu servir
de banc d'essai, au cours de plus d'un siècle, à tant de bonnes mathématiques.